從多遠距離可以看到杜拜塔?

杜拜塔已於2010年1月4日啟用,正式取代台北101成為世界第一高樓,一連串世界第一的紀錄:樓高826公尺、位於第一百廿四層的世界最高室外觀景台、最高獨立建築、樓層最多、樓面面積最大、最高電梯、最高的游泳池(位於第一百廿三樓)。而且穆斯林可以更接近真主,因為第一百五十八樓預料將成為全世界最高的清真寺、….。另外號稱在95公里之外可以看到,這個距離是怎麼算的呢?我就在Google Earth來作模擬,有興趣的人就請往下看了。



其實這是一個簡單的直角三角函數計算,就以下圖來作說明。

圖中B點表示某一高度為r的大樓,最遠(d)可以為地面上的A點所看到,O點則為地心,OAB為一直角三角形。

θOA(R)及OB(R+r)夾角,依直角三角形的計算式,
conθ = R /R+r —(1)
tanθ = d / R —(2)
由(1) 角度θ = aCos(R / R+r) 代入 (2)
由(2) 要求的距離 d = tanθ *R
θ代入後,所以 d = tan(aCos(R /R+r)) * R

R為地球的半徑,地球是一個橢球體,赤道較胖,半徑約為6378.5km,南北極兩端則較扁,半徑約為6356.9 公里,一段均以平均半徑約6371公里來計算。
r我們以 杜拜的樓高約800公尺來計算,換算為公里則為0.8km。
所以將數值代入運算式,則為
tan(acos(6371/(6371+0.8)))*6371

沒有工程計算機嗎?我們可以找萬能的Google來幫忙,把這串式子放進以下的搜尋方框內,按『Google 搜尋』鍵,即可得到答案


得到答案了嗎?算出來的是100.966529公里,這僅是只有考量地球曲率的計算式,另外並未包括大氣折光之影響量,要精確來算的話,我非測量背景,實在力有未逮,我有一位測量系畢業的學弟告訴我,解出之距離為109.989km。總之,對大多數非測量專業的普羅大眾來說,我認為有點基本觀念就好,實在不必太care精確的數字。

你也可以把Taipei101(約0.5公里)、玉山(約3.9公里)、華衛二號(約600公里)、…或者任何一個高度值放進這個式子來算。順便也可以瞭解谷歌大神可真的是很利害,以後有任何比較複雜的計算式,就可以隨手利用Google來幫你解答。

另外,既然是直角三角形,那當然也可以用畢氏定理:兩股平方和=斜邊平方和
所以也可以把"sqr(6371.8*6371.8-6371*6371)"這個計算式放進Google Search,答案是一樣的。

還有,上述計算得到的是直線AB的距離,這是以標的物來量測,另外還有弧線AD的距離,這是地面的距離,它的計算式是R*θ,也就是6371*(acos(6371/(6371+0.8))),兩者的誤差以地球最高的聖母峰9000公尺來計,只有320公尺,所以一般均以地面的距離來計算,計算式較為簡單。但若是要量測高空中某點(比如衛星)的視域的話,兩者的差距就變的非常大了。

由這個計算式的延伸,我想到要在Google Earth來實作,你可以下載這個"視域圖產生器kmz檔“,到Google Earth來實作看看。操作方式與我之前寫的「如何自製觀景台」大致一樣。

請先在Google Earth上選定目標、依正射角度取得高度、然後在所下載的"Create Sight"連結前打勾,或者按右鍵的「重新整理」之後,即可看到下方會產生一個「視域圖」的目錄,之下有個標示經緯度、高度、及視域距離的視域圖模型,點選這個模型地標之後,視景會傾斜個角度,讓你看到整個圓角錐的模型,它是以你設的地點、高度當頂點,以可視距離當半徑所繪出來的一個圓角錐。你也可以將這個視域圖先改個名稱,再另存新的Kmz檔。


上圖是玉山的視域圖,半徑約225公里,範圍涵蓋了整個台灣及澎湖。你可以在視域範圍內,找個地點設個觀景台(比如澎湖),搭配百岳kmz檔,利用『超級望眼鏡』來實地驗證。另外,要強調一點,這個視域圖僅是簡單的範圍圖,但不見得會看得到,因為可能會被前方較高的山頭擋住,這方面可是較複雜的計算了,「術業有專攻」,大家可以到秀樹的「永遠漫步在雲海上」網誌上去瞭解。

這個『視域圖產生器』除了可以選擇特定高度來產生視域角錐模型外,寓教於樂,你也可以拿它來玩弄一下地球,替地球戴上高帽子!比如底下我製作的這張圖,大家也可以想想高度要多高,其視域最大?祝大家玩的愉快!

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從多遠距離可以看到杜拜塔? 有 4 則回應

  1. amjads 說道:

    我想說這到底是怎麼一回事…
    我只不過出去兩個小時到山頂看聖稜線,
    一回來還以為被惡搞了…

    鷹大的 ge 應用相當實用, 真是寓教於樂…

  2. Steven 說道:

    to amjads

    昨天早上我剛post這篇文章,下午一看也嚇了一跳,一下子擁進500人次,我剛看昨天的統計量,禮拜六、日應該是一週訪客最少的兩天,但卻是1306,大約是平日禮拜天的兩倍。我猜大多數是因為"杜拜塔"這個關鍵字吧?我文章有提到你專精於視域圖的分析,所以順便就連結到你的blog。

  3. 通告: 24小時的Google Earth縮時環景 Time Lapse Panorama | GEmVG Blog

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